Suma y Multiplicación de números con diferentes base

Del libro de "Lógica Digital y Diseños de Computadores", de M. Morris Mano, Capitulo 1 "Sistemas Binarios"

1-2  Sume y Multiplique los siguientes números en la base dada sin convertirlos a decimal

(a) (1230) 4 y (23) 4
(b) (135,4) 6 y (43,2) 6
(c) (367) 8 y (715) 8
(d) (296) 12 y (57) 12

La meta de este ejercicio es sumar y multiplicar estos 2 números que están en una base diferente, SIN convertirlo en decimal, en la entrada anterior, se explico como es la existencia de números con diferente base.

En este caso, la base en la que esta representado, esta en el numero pequeño fuera de paréntesis  en este ejercicio es la suma y multiplicación de números en la misma base, para estos ejercicios debemos siempre tener en cuenta que no hace el cambio de valor posicional al llegar a 9 (como en base decimal), si no que dependiendo la base, el cambio se hace n-1 (donde "n" es la base, por ejemplo base 4 el numero máximo antes del cambio posicional sera 3)

(a) (1230) 4 y (23) 4 Suma: (1230) 4  + (23) 4

Recordemos que esta base se compone por 0,1,2,3 , sumar 1 mas al 3 hará que pase al siguiente valor posicional.

1. (1230) 4  + (23) 4 =  (1233) 4  + (20) 4 , la suma de 3+0 = 3, así que no hay cambio de valor
2. (1233) 4  + (20) 4  = (12(2+3) 3) 4 , tal vez paresca raro pero quiero resaltar el hecho de que sumamos 3+2, en un valor decimal esto nos daria 5, sin embargo, es un suma en base 4, podemos hacerla por pasos, 3+1 = 10, 10+1 = 11, entonces nos da que 2+3 = 11, remplazamos y obtemos  (1(2+1)(1) 3) 43. (1(2+1)(1) 3) 4 = (1313)4 Ya que obtuvimos un 1 en el siguiente valor posicional de nuestra suma anterior, tenemos que añadirlo, y al suma 2+1 nos da 3, eso no crea ningun valor adicional, asi que el resultado de la suma es (1313)4

(a) (1230) 4 y (23) 4  Multiplicar = (1230) 4 * (23) 4

La forma mas sencilla en mi parecer  pero tal vez no las mas rápida  es crear tablas de multiplicar para esta base y hacer la suma,así que tenemos:

0 * 0 = 0   1 * 0 = 0   2 * 0 = 0     3 * 0 = 0
0 * 1 = 0   1 * 1 = 1   2 * 1 = 2     3 * 1 = 3
0 * 2 = 0   1 * 2 = 2   2 * 2 = 10   3 * 2 =  12
0 * 3 = 0   1 * 3 = 3   2 * 3= 12    3 * 3 = 21

Si nace la pregunta de por que 2*3 = 12, bueno recordemos que la multiplicación no es mas que "sumar tantas veces tal numero" así que  2 * 3 = 2 + 2 + 2, haciéndolo por pasos (2+1+1)+1+1) =((3+1)+1+1)= 10+1+1 = 11+1 = 12

Ya con nuestra tabla de multiplicar, realizamos la multiplicación como aprendimos en los niveles básicos de educación.

                        1230
                        * 23
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         (1*3)(2*3)(3*3)(0*3)
(1*2)(2*2)(3*2)(0*2)(___)
------------------------------------
      (3)(12)(21)(0)
(2)(10)(12)(0)(__)
---------------------------------
      (3+1)(2+2)(1)(0)
(2+1)(0+1)(2)(0)(__)
--------------------------------
(10)(10)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
-----------------------
(1)(0+1)(0)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
----------------------
(1)(1)(0)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
---------------------
(1+3)(1+1)(0+2)(1+0)(0+0)
-----------------------------------
(10)(2)(2)(1)(0)
-------------------------------------
102210

Así que el resultado final de la multiplicacion es (102210)4

De forma similar se pueden resolver los demás  sin embargo entre mas grande sea la base mas grande la tabla de multiplicar, es un caso principalmente difícil cuando es base 12, ya que recordemos que el 10,11  son representados por A,B, es un poco mas difícil pero no imposible.

En el caso del ejercicio B, que tiene punto, hay que ser cuidadoso, sobre todo en la multiplicación  pero el procedimiento es el mismo