Conversion de diferentes bases a Decimal

Del libro de "Lógica Digital y Diseños de Computadores", de M. Morris Mano, Capitulo 1 "Sistemas Binarios"

1-7 Convierta los siguientes números a decimal:

a) (1001001.011)2

Binario a decimal ya es algo que hemos hecho asi que pasamos directo al proceso.

1*2⁶ + 1*2³ + 1*2⁰ + 1*2⁻² + 1*2⁻² =
64 + 8 + 1 + 0.25 + 0.125 = (73.375)10

b) (12121)3

Para convertir cualquier base a decimal la formula  seria

Suma(numero * base ^ la posición de la cifra), en otras palabras, es el mismo procedimiento que con binario, pero en vez de multiplicarlo por 2 de binario, se multiplica por el valor de la base.
Entonces el procedimiento es el siguiente:

1*3^4 + 2*3^3 + 1*3^2 + 2*3^1 + 1*3^0=
81 + 54 + 9 + 6 + 1 = (151)10


c) (1032.2)4

En este caso, recordemos que el 0 no se toma en cuenta ya que no agrega ningún valor, (cualquier numero multiplicado por 0 es 0), pero se añadirá al procedimiento  para mostrar su efecto

1*4^3 + 0*4^2 + 3*4^1 + 2*4^0 + 2*4^-1 =
64 + 0 + 12 + 2 + 0.5 = (78.5)10

d) (4310)5

4*5^3 + 3*5^2 + 1*5^1 + 0*5^0 =
500 + 75 + 5 +0 = (580)10

e) (0.342)6

0*6^0 + 3*6^-1 + 4*6^-2 + 2*6^-3=
0 + 0.5 + 0.111+ 0.009259 = (0.620259259)10

f) (50)7

5*7^1 + 0*7^0 =
35 + 0 = (35)10

g) (8.3)9

8*9^0 + 3*9^-1 =
8 + 0.333 = (8.333)10

h) (198)12

1*12^2 + 9*12^1 + 8*12^0 =

144 +108 + 8 = (260)10

Conversión Decimal a Binaria

Del libro de "Lógica Digital y Diseños de Computadores", de M. Morris Mano, Capitulo 1 "Sistemas Binarios"

1-4 Convierta los siguientes números decimales a binarios: 12.0625 , 10^4, 673.23 y 1998

Como se explico en la entrada anterior, para base binaria (base 2), es le mismo procedimiento

Separamos entero y punto, obtenemos 12 y .0625

12 / 2  = 6 y 0/2 por lo tanto a0=0 
6/2 = 3 y 0/2, a1 = 0
3/2 = 1 y 1/2, a2 = 1
1/2 = 0 y 1/2, a3 = 1

parte entera = (1100)2

parte con punto

0.0625 * 2 = 0.125, a-1= 0
0.125 * 2 = 0.25, a-2 = 0
0.25 * 2 = 0.5, a-3 = 0
0.5 * 2 = 1.0, a-4 = 1

parte con punto = (.0001)2

Resultado final = (1100.0001)2

10^4 = 10,000

10,000 / 2 = 5,000, 0/2, a0 = 0
5,000 / 2  = 2,500, 0/2, a1 = 0
2500 / 2 = 1,250, 0/2, a2 = 0
1,250 / 2 = 625, 0/2, a3 = 0
625 / 2 = 312, 1/2, a4 = 1
312 / 2 =  156, 0/2, a5 = 0
156 / 2 = 78, 0/2, a6 = 0
78 / 2 = 39, 0/2 , a7 = 0
39 / 2 = 19, 1/2, a8 = 1
19 / 2 = 9, 1/2, a9 = 1
9 / 2 = 4, 1/2, a10 = 1
4 / 2 = 2, 0/2 , a11 = 0
2 / 2 = 1, 0/2 , a12 = 0
1 / 2  = 0 , 1/2, a13 = 1

Resultado final: (10011100010000)2

673.23

673 / 2 = 336, 1/2 , a0 = 1
336 / 2 = 168, 0/2, a1 = 0
168 / 2 = 84, 0/2, a2 = 0
84 / 2 = 42, 0/2, a3 = 0
42 /2 = 21, 0/2, a4 = 0
21/ 2 = 10, 1/2, a5 = 1
10 / 2 = 5 , 0/2, a6 = 0
5 / 2 = 2, 1/2, a7 = 1
2 / 2 = 1, 0/2, a8 = 0
1 / 2 = 0, 1/2, a9 = 1

Parte entera : (1010100001)2

0.23 * 2 = 0.46, a-1 = 0
0.46 * 2 = 0.92, a-2 = 0
0.92 * 2 = 1.84, a-3 = 1
0.84 * 2 = 1.68, a-4 = 1

En muchos casos, sobre todo en binario, la parte después del punto no llega a ser exacta, asi que se deja un aproximado

parte con punto: (.0011)2

Resultado final: (1010100001.0011)2

1998

1998 / 2 = 999, 0/2 , a0 = 0

999 / 2 = 499, 1/2, a1 = 1

499 / 2 = 249, 1/2, a2 = 1

249 / 2 = 124, 1/2, a3 = 1

124 / 2 = 62, 0/2, a4 = 0

62 / 2 = 31, 0/2, a5 = 0

31 / 2 = 15, 1/2, a6 = 1

15 / 2 = 7, 1/2, a7 = 1

7 / 2 = 3, 1/2, a8 = 1

3 / 2 = 1, 1/2, a9 = 1

1 / 2  = 0, 1/2, a10 = 1

Resultado Final: (11111001110)2

Conversión de decimal a diferentes bases

Del libro de "Lógica Digital y Diseños de Computadores", de M. Morris Mano, Capitulo 1 "Sistemas Binarios"

1-3 Convierta el numero decimal 250,5 a base 3, 4, 7 , 8 y 16 respectivamente.

Para convertir de una decimal a cualquier otra se siguen estos pasos:

Se separan el numero con punto decimal, en dos, entero y punto decimal, osea 250 y 0.5

La parte entera se divide por la base , el resultado la parte entera se vuelve a dividir  la parte con punto, se convierte en fracción y se toma el numerador, se repite este proceso hasta que la parte entera es 0.

Por ejemplo:

250/3 = 83 entero, 1/3 en fraccion, por lo tanto se toma el 1, y se denomina como a0 = 1
se repite el proceso con los nuevos valores

83/3 = 27 entero, 2/3 en fraccion, por lo tanto a1 = 2

27/3 = 9 entero, 0/3 en fraccion a2 = 0

9/3 = 3 entero, 0/3 en fracccion a3 = 0

3/3 = 1 entero, 0/3 en fraccion a4 = 0

1/3 = 0 entero, 1/3 en fraccion a5 = 1

Ya que llegamos a 0, se toman todos los valores de la siguiente forma, el numero convertido quedaría de la siguiente forma (a5a4a3a2a1a0), por lo tanto el numero convertido es (100021)3

Para la parte faccionaria, el numero fraccionario se multiplicar por la base hasta que sea 0 la parte después del punto

0.5 * 3  = 1.5 , lo se paramos en enteros y fraccionario de nuevo y se le asigna a-1 al entero, por lo tanto a-1 = 1 y el resto es 0.5 y se repite el proceso

0.5 * 3 = 1.5 a-2 = 1 resto 0.5
0.5 * 3 = 1.5 a-3 = 1 resto 0.5
0.5 * 3 = 1.5 a-4 = 1 resto 0.5
0.5 * 3 = 1.5 a-5 = 1 resto 0.5

En este caso en particular, no importa cuantas veces lo multipliquemos, no se acercara mas al entero, asi que con suficientes cifras después del punto basta

El resultado despues del punto queda en este formato (a-1a-2a-3a-4a-5), asi que la parte fraccionaria queda como (.11111)3

El resultado final debe quedar de la siguiente forma (...a5a4a3a2a1a0.a-1a-2a-3a-4a-5...) , por lo tanto el resultado final es (100021.11111)3

Para el resto de los ejercicios es el mismo procedimiento, recordando dividir o multiplicar por la base que corresponda

250.5 a base 4

250/4 = 62 y 2/4 a0 = 2
62/4 = 15 y 2/4 a1 = 2
15/4 = 3 y 3/4 a2 = 3
3/ 4= 0 y 3/4 a3 = 3

Partes entera (3322)4

0.5 * 4 = 2 entera 0 fraccionaria a-1 = 2

Como el valor resultante ya es 0, ya no se continua y el valor fraccionaria queda como (0.2)4

Resultado final (3322.2)4

Suma y Multiplicación de números con diferentes base

Del libro de "Lógica Digital y Diseños de Computadores", de M. Morris Mano, Capitulo 1 "Sistemas Binarios"

1-2  Sume y Multiplique los siguientes números en la base dada sin convertirlos a decimal

(a) (1230) 4 y (23) 4
(b) (135,4) 6 y (43,2) 6
(c) (367) 8 y (715) 8
(d) (296) 12 y (57) 12

La meta de este ejercicio es sumar y multiplicar estos 2 números que están en una base diferente, SIN convertirlo en decimal, en la entrada anterior, se explico como es la existencia de números con diferente base.

En este caso, la base en la que esta representado, esta en el numero pequeño fuera de paréntesis  en este ejercicio es la suma y multiplicación de números en la misma base, para estos ejercicios debemos siempre tener en cuenta que no hace el cambio de valor posicional al llegar a 9 (como en base decimal), si no que dependiendo la base, el cambio se hace n-1 (donde "n" es la base, por ejemplo base 4 el numero máximo antes del cambio posicional sera 3)

(a) (1230) 4 y (23) 4 Suma: (1230) 4  + (23) 4

Recordemos que esta base se compone por 0,1,2,3 , sumar 1 mas al 3 hará que pase al siguiente valor posicional.

1. (1230) 4  + (23) 4 =  (1233) 4  + (20) 4 , la suma de 3+0 = 3, así que no hay cambio de valor
2. (1233) 4  + (20) 4  = (12(2+3) 3) 4 , tal vez paresca raro pero quiero resaltar el hecho de que sumamos 3+2, en un valor decimal esto nos daria 5, sin embargo, es un suma en base 4, podemos hacerla por pasos, 3+1 = 10, 10+1 = 11, entonces nos da que 2+3 = 11, remplazamos y obtemos  (1(2+1)(1) 3) 43. (1(2+1)(1) 3) 4 = (1313)4 Ya que obtuvimos un 1 en el siguiente valor posicional de nuestra suma anterior, tenemos que añadirlo, y al suma 2+1 nos da 3, eso no crea ningun valor adicional, asi que el resultado de la suma es (1313)4

(a) (1230) 4 y (23) 4  Multiplicar = (1230) 4 * (23) 4

La forma mas sencilla en mi parecer  pero tal vez no las mas rápida  es crear tablas de multiplicar para esta base y hacer la suma,así que tenemos:

0 * 0 = 0   1 * 0 = 0   2 * 0 = 0     3 * 0 = 0
0 * 1 = 0   1 * 1 = 1   2 * 1 = 2     3 * 1 = 3
0 * 2 = 0   1 * 2 = 2   2 * 2 = 10   3 * 2 =  12
0 * 3 = 0   1 * 3 = 3   2 * 3= 12    3 * 3 = 21

Si nace la pregunta de por que 2*3 = 12, bueno recordemos que la multiplicación no es mas que "sumar tantas veces tal numero" así que  2 * 3 = 2 + 2 + 2, haciéndolo por pasos (2+1+1)+1+1) =((3+1)+1+1)= 10+1+1 = 11+1 = 12

Ya con nuestra tabla de multiplicar, realizamos la multiplicación como aprendimos en los niveles básicos de educación.

                        1230
                        * 23
--------------------------------------
         (1*3)(2*3)(3*3)(0*3)
(1*2)(2*2)(3*2)(0*2)(___)
------------------------------------
      (3)(12)(21)(0)
(2)(10)(12)(0)(__)
---------------------------------
      (3+1)(2+2)(1)(0)
(2+1)(0+1)(2)(0)(__)
--------------------------------
(10)(10)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
-----------------------
(1)(0+1)(0)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
----------------------
(1)(1)(0)(1)(0)
(3)(1)(2)(0)(_)
---------------------
(1+3)(1+1)(0+2)(1+0)(0+0)
-----------------------------------
(10)(2)(2)(1)(0)
-------------------------------------
102210

Así que el resultado final de la multiplicacion es (102210)4

De forma similar se pueden resolver los demás  sin embargo entre mas grande sea la base mas grande la tabla de multiplicar, es un caso principalmente difícil cuando es base 12, ya que recordemos que el 10,11  son representados por A,B, es un poco mas difícil pero no imposible.

En el caso del ejercicio B, que tiene punto, hay que ser cuidadoso, sobre todo en la multiplicación  pero el procedimiento es el mismo

Sistemas binarios, y valor posicional

Empezare las entradas poniendo ejercicios de los libros que voy leyendo.

Este libro cubre el tema de Diseño Lógico  y Arquitectura de Computadores, el libro se llama "Lógica Digital y Diseño de Computadores" de M. Morris Mano, bastante interesante, va por lo mas básico y al final te explica como hacer tu propia computadora básica.

Empezando por los ejercicios del primer Capitulo, Sistemas binarios:

1-1. Escriba los primero 20 dígitos decimales en base 3

La base en numeraciones se refiere a que cantidad máxima llega, antes de se "saltar" a la siguiente valor posicional.

Por ejemplo, normalmente usamos el sistema decimal o sistema en base 10, eso quiere decir que nuestro sistema consiste por los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , sin embargo al pasar el 9, regresa a 0 y se añade otro dígito del lado izquierdo.

Por ejemplo:

9 + 1 = 10  *el dígito derecho vuelve a 0 mientras que el dígito de la izquierda, pasa a uno

99 + 1 = 100 *mismo caso, pero ahora el tercer dígito se pone en uno

en realidad es como si el numero estuviera precedido por 0's

Esto también nos dice que se pueden hacer diferentes bases para los sistemas numéricos

base en 8 seria 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

base en 2 seria 0, 1

base en 16 seria 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B ,C ,D, E

en el caso de las base mayores de 10, se usan letras para representar por ejemplo el 10 o el 11, ya que es necesario que sea un dígito único, para así evitar confusión.

por ejemplo en base 16

AA seria como escribir 1010, ya que si se escribieran los 4 dígitos causaría confusión.

Volviendo al ejercicio, nos pide una base en 3, eso quiere decir que se conformara por 0, 1, 2

Con lo explicado en lo anterior entonces sabemos que se podría representar de la siguiente forma

1ro	000	11vo	101
2do	001	12vo	102
3ro	002	13vo	110
4to	010	14vo	111
5to	011	15vo	112
6to	012	16to	120
7mo	020	17mo	121
8vo	021	18vo	122
9no	022	19no	200
10mo	100	20vo	201

Recordemos que la numeración empieza en 0, así que el primer elemento es 0